第1章 基本的な概念 - 定理4
定理4.an→αなら|an|<Mとなる定数Mが存在し、|α|≦M。
この証明自体は、大きく引っかかるとことはなく、理解が難しいことはなかったが、このあとさんざん悩まされる「<」と「≦」が混在する最初の定理である。
この証明で少し考えたのは
|α|>M’>Mならば、|αーan|>M’-M
の部分。不等式の扱いに慣れていれば難しいことはないのであろうが、一応、解きほぐすと、
|α|>M’>M>|an|
∴|α|-|an|>M’-M>0
|αーan|>|α|-|an|なので
|αーan|>M’-M>0
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ところで、|α|≦Mはなぜ「<」ではなくて「≦」なのだろうか。|an|<Mだからan→αなら|α|<Mではないのか。収束すると「=」の場合を考慮しなければならないのはなぜか。この疑問に対し、本書はan=1-1/n<1だがα=1の例を挙げているが、念のために|α|≧Mでは矛盾が生じないことを確認してみる。「=」が入ることで矛盾が生じなくなるはずである。
|α|≧Mなので|α|≧M’≧MとなるM’がある。(ちなみに|α|>M’≧MとなるM’も|α|≧M’>Mも存在しない)
従って、
|α|≧M’≧M>|an|
∴|α|ー|an|>M’-M≧0
|αーan|>|α|-|an|なので
|αーan|>M’-M≧0
異なるのはM’-Mが「>0」ではなく「≧0」という点である。
「>0」であれば、M’-M=εとしたとき、|αーan|<εに矛盾するが
「≧0」であればM’-Mがゼロの可能性があるので=ε(>0)とできず、矛盾を導けない。従ってこの方法で|α|>Mは否定できても、|α|≧Mは否定できないのである。
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この定理のすぐ後に[注意]があり、
「an→αのとき、ある数Mがあって、すべてのnに対してan≦Mならば、α≦Mである」
が示されている。上記の定理4との違いは、anに絶対値が取られていないこと、そして条件「an≦M」が「an<M」ではないこと(等号の場合が含まれていること)である。
ここで、なぜ「an<M」ではなくて「an≦M」なのだろうか。もちろん、「an<M」は「an≦M」の場合に含まれており、「an<M」の時には成立せずに、「an≦M」でないと成立しない、というわけではない。これは、この注部分は、Mの存在を所与としているからであろう。換言すれば、「an→α」からMの存在を証明する必要がないからである。