第１章 基本的な概念 － Weierstrassの定理

定理２．数の集合Ｓが上方［または下方］に有界ならばＳの上限［または下限］が存在する［Weierstrassの定理］。

これは納得して理解するために、何回も読みなおした。

以下、自分なりに理解したことを、くだけた表現で再現する。ｓ、Ａ、Ｂは「解析概論」の原文の説明の通りで、Ｓは下方に有界な集合、ＡはＳの下界の集合、ＢはＳの下界ではないものの集合（Ａの補集合）、ｓは切断（Ａ，Ｂ）で定まる実数である。定理１（Dedekindの定理）によりｓはＡの最大値もしくはＢの最小値のどちらか一つであるが、Ｂの最小値として矛盾があることから、Ａの最大値であること（＝Ｓの下限）を説明する。

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ｓ：「俺はＢの最小値だ。文句あるか」

Dedekind氏：「しかし、お前はＢに属しているので、Ｓの下界にはなれないぞ」

ｓ：「わかってら、そんなこと」

Ｄ氏：「Ｓの下界じゃないってことは、Ｓの中に、お前より小さいやつがいるってことだ」

ｓ：「ええっ？　なんでだよ」

Ｄ氏：「もしお前より小さいやつが一人もいなかったら、『Ｓの全員がお前よりも小さくない』ってことになって、お前が下界の定義に当てはまっちゃう。そうしたら、もうＢにはいられない」

ｓ：「・・・。ま、まあ、そりゃ、一人ぐらいそんなやつはいるかもな。でも俺はＳで最小でなくっても、Ｂでは最小だ」

Ｄ氏：「お前がＢで最小だっていうのなら、お前より小さいやつはみんなＡに属することになる。今言ったＳでお前より小さいやつも、Ａに入ることになる。仮にこいつを白鳥さんとしよう。白鳥さんはＳにもＡにも属することになる。こりゃ、困ったことだ」

ｓ：「それが何か悪い」

Ｄ氏：「いいか。白鳥さんはお前より小さい。ってことは、白鳥さんとお前の間には、必ず別のやつがいる。例えば、白鳥さんとお前を足して２で割ったやつを小田原城とすれば、小田原城は白鳥よりは大きくて、お前よりは小さい」

ｓ：「だから何なんだ」

Ｄ氏：「小田原城が白鳥さんより大きいってことは、小田原城は下界にはなれない。下界になれないってことは、下界の集合であるＡに属すことができないってことで、仕方なくＢに属することになる。しかし、小田原城はＢの最小値を名乗るお前より小さいからＢに属せない。困ったことだ」

ｓ：「でも、どうして小田原城は白鳥から大きいからって下界になれないんだ？」

Ｄ氏：「もし小田原城が下界だとすると、白鳥さんの立場はどうなる？小田原城が下界ということは、少なくとも小田原城より小さいやつはＳに属せないはずだ。でも白鳥さんはＳに属している。矛盾だ。だから小田原城は下界になれない」

ｓ：「なるほど・・・」

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もう少し真面目にまとめたものが次。

 

・ｓはＢ（Ｓの下界ではないものの集合、換言すればＳの下界の補集合）に属する。

・ｓはＢの最小値である。

ここのどこに矛盾があるのか。

１．ｓはＢに属するから、Ｓの下界ではない。

下界の定義：集合Ｓに属する数がすべて一つの数Ｍより小ではないとき、Ｍはその一つの下界と呼ぶ。

２．ｓはＳの下界ではないから、「Ｓに属する数がすべてｓより小ではない」ことはない。

３．すなわち、「ｓより小ではない」ことを満たさないもので、Ｓに属するものが存在する。

４．「ｓより小ではない」ことを満たさない数とは、ｓより小な数である。

５．すなわち、Ｓに属し、ｓより小なる数が存在する。これをｘとする。

６．ｓはＢの最小値であるので、ｓより小なる数ｘはＢには属せない。したがってｘはＡ（下界の集合）に属する。（ｘはＳに属し、かつＡに属している）

７．ｘ＜ｓなので（ｘ≦ｓではない）、ｘとｓの間に数ｂが存在する。このとき、ｘ＜ｂ＜ｓである。

８．ｘ＜ｂなのでｂは下界ではない。なぜならば、ｂが下界とすると「Ｓに属する数がすべてｂより小ではない」はずだが、ｘはＳに属してｂよりも小となってしまうからである。

９．ｂは下界ではないのであれば、Ａには属することができず、したがってＢに属さなければならない。するとＢの最小値ｓとの間の関係、ｂ＜ｓが成り立たない。

最初、わかりにくかったのは２．の否定形。３、４、５とかみ砕いて納得。

次にわかりにくかったのは６の時点で、ＳにもＡにも属するｓが存在しても、まだ矛盾が出ない点。これはＳ、Ａ、Ｂを整理して理解していないため混乱した。ＳとＢを無意識のうちに同一と考えてしまうのか。