「集積点の集積点はやっぱり集積点である」との記述がある。 読んですんなりと頭に入らず、以下のように考えた。 集合Sの集積点Aがある。 この点Aが無数に存在するとする。 すると点Aで構成される集合S'を考えることができる。 集合S'に集積点A'があるとする…

「{an}の中に同じ数aが無数に繰り返して出てくる場合には、aはSの集積点であるとは限らない」 との記述が、すんなりと理解できなかった。集積点Aとは点Aにどれほど近いところにもSに属する点が無数にあること、と定義される。同じ数aが無数にあるのであれば…

・実数の切断を定義し、その連続性を説明（附録Ⅰの１～３、セクション２） ・有理数の切断（A,A'）を定義 ・切断の「境界」として実数を定義 （有理数切断（A,A'）で有理数の「境界」が存在しない場合、有理数に替わる何かがあると想定して、それを「無理数…

収束の条件、Cauchyの判定法（定理８）の附記に上極限、下極限が登場する。一読して、上極限と上限、下極限と下限の差が理解できなかったので、改めて整理する。 上限・・・数列｛ａｎ｝が有界のときに定まる値（定理２） 上極限・・・数列｛ａｎ｝の部分数…

定理４．ａｎ→αなら｜ａｎ｜＜Ｍとなる定数Ｍが存在し、｜α｜≦Ｍ。 この証明自体は、大きく引っかかるとことはなく、理解が難しいことはなかったが、このあとさんざん悩まされる「＜」と「≦」が混在する最初の定理である。 この証明で少し考えたのは ｜α｜＞…

定理８．数列｛ａｎ｝が収束するための必要かつ十分なる条件は、任意のε＞０に対して番号ｎ０が定められて、 ｐ＞ｎ０、ｑ＞ｎ０なるとき ｜ａｐ－ａｑ｜＜ε なることである。 この定理の証明を読んで、最初に引っかかったのは、 ｍ１≦ｍ２≦・・・ｍｎ≦・・…

定理１．実数の切断は、下組と上組の境界として、一つの数を確定する［Dedekindの定理］。 この定理の導出のようなものが付録Iにある。これも一読してすぐに理解できなかったが、何回も読んで、自分なりに次のように整理して理解した。 上記の４～７を視覚的…

定理２．数の集合Ｓが上方［または下方］に有界ならばＳの上限［または下限］が存在する［Weierstrassの定理］。 これは納得して理解するために、何回も読みなおした。 以下、自分なりに理解したことを、くだけた表現で再現する。ｓ、Ａ、Ｂは「解析概論」の…