第１章 基本的な概念 － 収束の条件、Cauchyの判定法

定理８．数列｛ａｎ｝が収束するための必要かつ十分なる条件は、任意のε＞０に対して番号ｎ０が定められて、

ｐ＞ｎ０、ｑ＞ｎ０なるとき　｜ａｐ－ａｑ｜＜ε

なることである。

この定理の証明を読んで、最初に引っかかったのは、

ｍ１≦ｍ２≦・・・ｍｎ≦・・・ｌｎ≦・・・ｌ２≦ｌ１

Ｉ１⊃Ｉ２⊃・・・Ｉｎ⊃・・・

の部分。なぜ「⊇」ではなく「⊃」なのか。その上の「≦」が「＜」でないのであれば、「⊃」ではなくて「⊇」ではないか。「⊃」については前頁の注に「集合Ａ、Ｂに関してＡ⊃Ｂは’ＡはＢを含む’ことを表す」と定義しているので、ひょっとしてＡ＝Ｂの場合も含めてＡ⊃Ｂを定義しているのかもしれない。しかし、Ａ＝Ｂの場合も含めて「⊃」を定義しているとすると、区間の幅が限りなく小さくなるとは限らず、区間縮小法が使えない。ということは、やはり「⊃」は「⊇」と分けて定義され、Ａ＝Ｂの場合は含めないのであろうか。

そこで次のような数列を考えてみた。４個同じ絶対値の数が連続し、４個おきに絶対値が減少していく数列である。

数式にすれば、例えば次のようなものが可能であろうか。

ａｎ＝ＣＯＳ（ｎπ）／（［ｎ／４］＋１）

（［ｘ］はｘの整数部分を表す）

例えば、

ａ１００＝ＣＯＳ（１００π）／（［１００／４］＋１）＝１／２６

ａ１０１＝ＣＯＳ（１０１π）／（［１０１／４］＋１）＝－１／２６

ａ１０２＝ＣＯＳ（１０２π）／（［１０２／４］＋１）＝１／２６

ａ１０３＝ＣＯＳ（１０３π）／（［１０３／４］＋１）＝－１／２６

ａ１０４＝ＣＯＳ（１０４π）／（［１０４／４］＋１）＝１／２７

　：
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この数列は直感的にCauchyの条件を満たし、ゼロに収束していくと思うが、「＝」を含まない意味での「⊃」ではＩ１⊃Ｉ２⊃・・・Ｉｎ⊃・・・

を満たさない。上記例でいえば、

・・・⊃Ｉ１００⊇I１０１⊇I１０２⊇I１０３⊃I１０４・・・

となり、「⊃」が現れるのは４回に１回である。他の３回は「⊇」だ。

ということは、本書の「⊃」は「＝」の場合を含んだものと解釈すべきなのであろう。

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次に引っかかるのが、「ａｐ－ａｑ＜ε」の時に、ａｐをその上限ｌｎに入れ替えると「ｌｎ－ａｑ≦ε」と等号が加わる点。これまで、数列という「動く」ものを極限値という「動かない」固定値に置き換えるとき、等号が加わることは何度か見てきた。ここも同様であろう（時間のある時に確認する）。

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さて、本書の「⊃」は「＝」の場合を含んだものと解釈すべきであれば、区間縮小法がそのまま利用できないはずだ。区間最小法を使うためには、Ｉｎの幅がｎが大きくなるに従って限りなくゼロに近づく必要があるが、本書の「⊃」の解釈では、

・・・Ｉｎ⊃Ｉｎ＋１⊃Ｉｎ＋２⊃・・・

について、あるｎ＞Ｎについて、すべて「＝」となる可能性を排除していない。と、すなわち

・・・ＩＮ－１⊃ＩＮ⊃ＩＮ＋１＝ＩＮ＋２＝ＩＮ＋３＝・・・

となる可能性を否定できない。その場合、Ｉｎの幅はＩＮ＋１の時が最小で、それ以上ゼロに近づかず、区間最小法が使えない。１００回に一回、あるいは、１万回に一回、あるいはそれより少ない頻度でも、とにかく「＝」を含まない狭義の「⊃」がどのような頻度であれ出続けることが、区間最小法が利用できる条件だ。

狭義の「⊃」が少ない頻度でも出続けることの証明は、「＝」が出続けることで矛盾生まれればよい。

ｎ＞ＮでＩｎ＝Ｉｎ＋１＝Ｉｎ＋２＝・・・とすると、

ｌｎ－ｍｎ＝ｌｎ＋１－ｍｎ＋１＝ｌｎ＋２－ｍｎ＋２＝・・・＝δ

しかし、任意のε＞０について、ｎ＞Ｎ’についてｌｎ－ｍｎ≦εとなるＮ’が存在するから、ε＜δと設定すると矛盾が生じる。

従って、・・・Ｉｎ⊃Ｉｎ＋１⊃Ｉｎ＋２⊃・・・について、狭義の「⊃」がどのような頻度であれで続ける、すなわちＩｎはゼロに向かって限りなく小さくなる。