第１章 基本的な概念 「集積点の集積点」？

「集積点の集積点はやっぱり集積点である」との記述がある。

読んですんなりと頭に入らず、以下のように考えた。

• 集合Sの集積点Aがある。
• この点Aが無数に存在するとする。
• すると点Aで構成される集合S'を考えることができる。
• 集合S'に集積点A'があるとする。
• A'はSの集積点から構成された集合S'の集積点、すなわち「集積点の集積点」となる。
• A'はS’の集積点であるが、同時にSの集積点でもある、と（証明なしに）言っているわけである。

証明、すなわち、「A'にどれほど近い場所にもSに属する点が無数に存在すること」は以下のようになるのであろうか。

• A'はS'の集積点であるから、任意の数ε＞０について、A'からε/２の距離内にS'に属する点が無数に存在する。
• そのうちの一つをPとする。PはS'に属している、すなわち、PはSの集積点である。
• PはSの集積点なので、Pからε/２の距離内にSに属する点が無数に存在する。
• A'からPまでの距離はε/２なので、「Pからε/２の距離内にSに属する点が無数に存在する」とは、A'からεの距離内にSに属する点が無数に存在するということである。
• εは任意の正数であったので、すなわちA'にどれほど近い場所にもSに属する点が無数に存在する。